СAPM – Capital Asset Pricing Model
“Количественные финансы”

Салихов Марсель ()

2021-02-13

Цели лекции

CAPM

СAPM – возникновение

Основополагающая идея CAPM

Риск-премия бумаги обусловлена вкладом данной ценной бумаги в общий риск эффективно диверсифицированного портфеля.

Это базовая идея CAPM!

Допущения

CAPM строится с представления о том, какие бы были премии за риск для акций, если выполняются следующие допущения:

  1. Цены находятся в равновесии. Для каждой бумаги спрос равен предложению.
  2. Все участники рынка имеют одинаковые прогнозы для ожидаемых значений доходности и риска. Следовательно, они вкладывают свои средства в рискованные активы таким образом, что в итоге сосредотачивают их в своих портфелях в одних и тех же пропорциях.
  3. Все участники выбирают оптимальные портфели по Марковицу, исходя принципов эффективной диверсификации. Это означает, что все инвесторы имеют тангенциальный портфель рисковых активов, а также безрисковый актив.
  4. Рынок дает получить дополнительную доходность за риск, который нельзя избежать, но на рынке нет вознаграждения за риск, который связан с неэффективным выбором портфеля. Риск премии для отдельной бумаги связано с не с риском самой бумаги непосредственно, а ее вкладом в риск эффективного портфеля.

Исходя из допущения №3, следует, что рыночной портфель является аппроксимацией тангенциального портфеля.

Рыночный портфель (market portfolio)

Важно: CAPM соблюдается, если верны допущения

Capital Market Line (CML)

capital market line связывает дополнительную ожидаемую доходность эффективного портфеля и его риск.

Ожидаемая избыточная доходность – это ожидаемая доходность минус безрисковая ставка, она также называется риск-премия.

\[r_P = r_f + \frac{r_M - r_f}{\sigma_M}\sigma_P \]

где \(r_P\) – это доходность данного эффективного портфеля (сочетание рыночного портфеля и безрискового актива),

\(r_f\) – безрисковая ставка;

\(r_M\) – ожидаемая доходность рыночного портфеля

\(\sigma_M\) – стандартное отклонение \(R_M\)

\(r_M - r_f\) – премия за риск рыночного портфеля

\(r_P - r_f\) – премия за риск нашего эффективного портфеля

\(r_f, r_M, \sigma_M\) – константы, что меняется в этом уравнении это – \(r_P, \sigma_P\), то есть соотношение рыночного портфеля и рискового актива в портфеле.

Угол наклона CML

Угол наклона CML равен:

\[ \frac{r_M - r_f}{\sigma_M}\]

Угол наклона можно интерпретировать как отношение премии за риск к стандартному отклонению рыночного портфеля – уже известный нам показатель Шарпа (Sharpe Ratio).

Следствие – все эффективные портфели имеют тот же показатель Шарпа, что и рыночной портфель

Пример CML

Рассмотрим линию рынка капитала (CML), если \(r_f = 0,06; r_M= 0,15; \sigma_M = 0,22\).

Следствия из СAPM

  1. Для большинства инвесторов результаты пассивной стратегии (комбинирование безрисковых активов с вложениями в пассивные инвестиционные фонды, реплицирующих широкий индекс) – так же хороши, как если бы вели активный поиск доходных ценных бумаг.
  2. Премия за риск для каждой отдельной бумаги пропорциональна только ее вкладу в совокупный риск всего рыночного портфеля. Премия за риск не зависит от риска, присущего ей в отдельности.

Security Market Line

Это выражение описывает линию доходности рынка ценных бумаг (SML): \[E(r_i) - r_f = \beta_i[E(r_M) - r_f] \]

Бета (\(\beta\))

\[\beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2} \] где \(\sigma_{iM}\) – ковариация доходностей между i-ой ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля.

Можно выразить дисперсию рыночного портфеля как:

\[\sigma_M^2 = \sum w_i Cov(r_i, r_m) \]

где \(w_i\) – доля i-ого актива в рыночном портфеле.

Интепретация беты

Значения беты дают возможность интерпретировать риск актива (портфеля):

\(\beta > 1\) – агрессивный актив (портфель);

\(\beta = 1\) – средний уровень риска;

\(\beta < 1\) – консервативный портфель

В данном случае акция J находится ниже границы SML. СAPM прогнозирует, что цена бумаги J будет снижаться пока она вновь не окажется на линии SML.

Отраслевые беты для американских компаний

Источник: Betas by Sector (US), by Aswath Damodaran

Расчет беты в R

Коэффициент бета можно рассчитать с помощью обычной линейной регрессии в R:

# OnDate <- start.date <- as.Date('2010-01-01')
# ToDate <- end.date <- Sys.Date()
# ROSN <- QuantTools::get_finam_data('ROSN', from = start.date, to = end.date) # индекс ММВБ
# ROSN <- quant_tools_to_xts(ROSN)
# MICEX <- QuantTools::get_finam_data('MICEX', from = start.date, to = end.date) # индекс ММВБ
# MICEX <- quant_tools_to_xts(MICEX)
# ROSN.rtn <- diff(log(ROSN$close))
# MICEX.rtn <- diff(log(MICEX$close))
# #
# # # получить безрисковкую ставку (1-летние ОФЗ)
# source('https://raw.githubusercontent.com/quantviews/CBR/master/codes_new/CBR_web.R')
# rf_rate <- MosPrimeXML(start.date,end.date)
# rf_rate_d <- (100+rf_rate$T1W)^(1/365)-1

plot(rf_rate_d, main = 'Безрисковая ставка (Mosprime)')

# dat <- merge(ROSN.rtn, rf_rate_d)
# ex_rosn_rtns <- ROSN.rtn - rf_rate_d
# ex_micex_rtns <- MICEX.rtn - rf_rate_d

fit <- lm(ex_rosn_rtns ~ ex_micex_rtns, data = dat)
summary(fit)

Call:
lm(formula = ex_rosn_rtns ~ ex_micex_rtns, data = dat)

Residuals:
      Min        1Q    Median        3Q       Max 
-0.095299 -0.006850 -0.000626  0.006320  0.066335 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   0.0006890  0.0003118    2.21   0.0272 *  
ex_micex_rtns 1.0621560  0.0175253   60.61   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.01141 on 2728 degrees of freedom
  (69 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.5738,    Adjusted R-squared:  0.5737 
F-statistic:  3673 on 1 and 2728 DF,  p-value: < 2.2e-16

Интерпретация:

  1. Значение t-статистики при константе равно 2,21. Мы можем отвергнуть гипотезу о том, что значение коэффициента равно нулю.

  2. Коэффициент при доходности индекса близок к 1. Это означает, что бета акций Роснефти близка к 1.

  3. \(R^2\) = 0,57. Это означает, что 55% дисперсии доходности Роснефти “объясняется” динамикой широкого рынка, 43% – дисперсии объясняется специфическими факторами.

Расчет беты в R – 2

рассмотрим вариант расчет регрессии без свободного члена (intercept term). В R такое уравнение рассчитывается добавлением параметра +0 в формуле.

fit0 <- lm(ex_rosn_rtns ~ ex_micex_rtns + 0, data = dat)
summary(fit0)

Call:
lm(formula = ex_rosn_rtns ~ ex_micex_rtns + 0, data = dat)

Residuals:
      Min        1Q    Median        3Q       Max 
-0.097304 -0.006471 -0.000268  0.006529  0.063511 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
ex_micex_rtns  1.03452    0.01228   84.23   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.01142 on 2729 degrees of freedom
  (69 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.7222,    Adjusted R-squared:  0.7221 
F-statistic:  7094 on 1 and 2729 DF,  p-value: < 2.2e-16
plot(coredata(dat$ex_micex_rtns), coredata(dat$ex_rosn_rtns), 
     xlab = 'избыточная доходность индекса ММВБ', ylab = 'избыточная доходность Роснефти')
abline(lm(dat$ex_rosn_rtns ~ dat$ex_micex_rtns + 0), col="red")

Расчет \(\beta\) с помощью пакета PerformanceAnalytics

Пакет PerformanceAnalytics предоставляет удобные функции для расчета различных параметров модели CAPM:

library(PerformanceAnalytics)

CAPM.beta(Ra = ROSN.rtn,Rb = MICEX.rtn,Rf = rf_rate_d)
[1] 1.060891
CAPM.alpha(Ra = ROSN.rtn,Rb = MICEX.rtn,Rf = rf_rate_d)
[1] 0.0006824268

Расчет скользящей беты (rolling \(\beta\)) с помощью пакета PerformanceAnalytics

Пакет PerformanceAnalytics дает возможность быстро делать “скользящие” оценки коэффициентов – то есть мы каждый раз используем лишь X предыдущих значений для расчетов (в данном случаем X = 250, это примерно расчет за последние 365 календарных дней)

chart.RollingRegression(Ra = ROSN.rtn,Rb = MICEX.rtn,Rf = rf_rate_d,width = 250, attribute = "Beta",
                        main = 'Скользящая бета для акций Роснефти')

chart.RollingRegression(Ra = ROSN.rtn,Rb = MICEX.rtn,Rf = rf_rate_d,width = 250, attribute = "Alpha",
                        main = 'Скользящая альфа для акций Роснефти')

Одна из проблем с использованием CAPM – по факту оценки коэффициентов не являются устойчивыми во времени.

Интепретация альфы

Пример: предположим, что ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 14%, бета бумаги = 1,2, а безрисковая ставка равна 6%. Тогда SML указывает нам, что ожидаемая доходность бумаги равна:

\(E(r)= r_f+\beta[E(r_M)-r_f] = 6 + 1,2(14-6) = 15,6%\).

Если мы считаем, что на самом деле ожидаемая доходность бумаги равна 17%, тогда альфа будет равно 1,4%

Альфа как мера оценки эффективности портфельных управляющих

Использование CAPM для формирования портфеля ценных бумаг

CAPM говорит, что оптимальный алгоритм для инвестирования заключается в следующем:

  1. Определите, какой уровень риска является для вас приемлемым (\(0\leq \sigma_P \leq \sigma_M\)) – в принципе, мы можем определить уровень риска больше, чем рыночный, если есть возможность занять деньги, чтобы инвестировать в рисковый актив.
  2. Вычислите \(w = \frac{\sigma_P}{\sigma_M}\)
  3. Инвестируйте долю \(w\) вашего капитала в индексный фонд (фонд который реплицирует поведения рынка).
  4. Инвестируйте долю \(1-w\) вашего капитала в безрисковый актив.

Использование CAPM для оценки стоимости капитала

\[WACC = r_{debt}(1-T) \frac{D}{E+D}+r_{equity}\frac{E}{E+D} \] где

\(r_debt\) – рыночная ставка по используемому фирмой долгу, %

\(T\) – ставка по налогу на прибыль, так как процентные платежи вычитаются из налогооблагаемой базы по налогу на прибыль (“налоговый щит”)

\(D\) – величина используемого компанией долга

\(E\) – сумма собственного капитала фирмы (рыночная капитализация – для публичных компаний)

\(r_{equity}\) – рыночная ставка доходности собственного капитала (обычно определяется с помощью модели CAPM или ее модификации)

Проблемы с CAPM

Источник: The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence (Eugene F. Fama and Kenneth R. French)

Настоящие портфели имеют плоское соотношение между бетой и ожидаемой доходностью.

Трехфакторная модель Фамы и Френча

3-факторная модель включает изначальные факторы модели CAPM и добавляет к ним еще два:

  1. (small-minus-big, SMB) – фактор размера, превышение доходности портфеля из активов фирм с малой капитализацией над портфелем из активов фирм с большой капитализацией.
  2. (high-minus-low, or HML) – фактор стоимости (value), превышение доходности портфеля из активов фирм с низким соотношением балансовой и рыночной стоимости над портфелем из активов фирм с высоким соотношением балансовой и рыночной стоимости.

Модель Фамы и Френча можно представить в следующем виде: \[r = \alpha + r_f+ \beta(r_m-r_f) + \gamma SMB + \phi HML \]

Таблица с коэффициентам из работы Fama & French (1992), которая охватывала период с 1963 по 1990 год (месячные значения)

Текущие значения параметров модели Fama & French

Список использованных источников

  1. “Statistics and Data Analysis for Financial Engineering” (David Ruppert & David Matteson)
  2. Analyzing Financial Data and Implementing Financial Models Using R (Clifford Ang).
  3. Sharpe, William F. “Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk.” The journal of finance 19.3 (1964): 425-442.
  4. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “The cross‐section of expected stock returns.” the Journal of Finance 47.2 (1992): 427-465.
  5. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “The capital asset pricing model: Theory and evidence.” The Journal of Economic Perspectives 18.3 (2004): 25-46.